Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} 3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $e^{3 t} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Этап 1.3.4.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Этап 1.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Этап 1.3.4.5

Перенесем $3$ влево от $e^{3 t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + 0}$

Этап 1.3.6

Добавим $3 e^{3 t}$ и $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{1}{3} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{lim_{t \to 0} 3 t}}$

Этап 2.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

Этап 3.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 \cdot 0}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{1 \cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

Этап 4.2

Умножим $\cos (0)$ на $1$ .

$\frac{\cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\cos (0)}{3 e^{0}}$

Этап 4.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{\cos (0)}{3 \cdot 1}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1}$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$