Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\sec^{2} (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Объединим $2$ и $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.2.2

Разделим $\sec^{2} (2 x)$ на $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $1$ .

$\sec^{2} (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.4

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (2 x) = \pm 0$

Этап 5.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Этап 6

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 7

Найдем вторую производную в $x =$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

Этап 8

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\sec (2)$ .

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

Этап 8.2

Возведем $1.00060954$ в степень $2$ .

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

Этап 8.3

Умножим $4$ на $1.00121946$ .

$4.00487784 \tan (2)$

Этап 8.4

Найдем значение $\tan (2)$ .

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

Этап 8.5

Умножим $4.00487784$ на $0.03492076$ .

$0.13985341$

Этап 9

$x =$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x =$ — локальный минимум

Этап 10

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ — локальный минимум

Этап 11