Математический анализ Примеры

$\int (3 x^{4} - 5 x^{2} + x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 3 x^{4} - 5 x^{2} + x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{4} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int x d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{4} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 5 x^{2} d x + \int x d x$

Этап 5

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 \int x^{2} d x + \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$3 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{3 x^{5}}{5} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$