Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Этап 1.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7

Разделим дроби.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 9

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Этап 11

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 14

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 15

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 15.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 16

Решение уравнения $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 18.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 18.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 18.1.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 18.1.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 18.1.5

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Этап 18.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Этап 18.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 18.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Этап 18.2.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 18.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 18.2.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 19

$x = - \frac{π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{π}{4}$ — локальный минимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 20.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 20.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 20.2.1.4

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Этап 20.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 20.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 20.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 20.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 20.2.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 20.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 20.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 20.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 20.2.2.3.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Этап 20.2.3

Окончательный ответ: $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Этап 21

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 22

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 22.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 22.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 22.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 22.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 22.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 22.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 22.2.3.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$- \sqrt{2}$

Этап 23

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный максимум

Этап 24

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 24.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 24.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 24.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Этап 24.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.1.5

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 24.2.1.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.2.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Этап 24.2.3

Окончательный ответ: $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Этап 25

Это локальные экстремумы $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ — локальный минимум

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ — локальный максимум

Этап 26