Математический анализ Примеры

$\int 20 x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Этап 1

Поскольку $20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $20$ из-под знака интеграла.

$20 \int x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Этап 2

Пусть $u = 5 x^{4} - 1$ . Тогда $d u = 20 x^{3} d x$ , следовательно $\frac{1}{20} d u = x^{3} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 5 x^{4} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $5 x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} - 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $20 x^{3}$ и $0$ .

$20 x^{3}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$20 \int \sec (u) \tan (u) \frac{1}{20} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{20}$ и $\sec (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u)}{20} \tan (u) d u$

Этап 3.2

Объединим $\frac{\sec (u)}{20}$ и $\tan (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u) \tan (u)}{20} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{20}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{20}$ из-под знака интеграла.

$20 (\frac{1}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{20}$ и $20$ .

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \sec (u) \tan (u) d u$

Этап 5.3

Умножим $\int \sec (u) \tan (u) d u$ на $1$ .

$\int \sec (u) \tan (u) d u$

Этап 6

Поскольку производная $\sec (u)$ равна $\sec (u) \tan (u)$ , интеграл $\sec (u) \tan (u)$ равен $\sec (u)$ .

$\sec (u) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{4} - 1$ .

$\sec (5 x^{4} - 1) + C$