Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Этап 1.3.3

Добавим $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Этап 4.1.3.3

Добавим $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1.62662472$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(- 1.62662472)}^{3} - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 1.62662472$ в степень $3$ .

$20 \cdot - 4.30389932 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Этап 9.1.2

Умножим $20$ на $- 4.30389932$ .

$- 86.07798657 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Этап 9.1.3

Умножим $- 24$ на $- 1.62662472$ .

$- 86.07798657 + 39.03899328 + 2$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 86.07798657$ и $39.03899328$ .

$- 47.03899328 + 2$

Этап 9.2.2

Добавим $- 47.03899328$ и $2$ .

$- 45.03899328$

Этап 10

$x = - 1.62662472$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1.62662472$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1.62662472$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.62662472$ .

$f (- 1.62662472) = {(- 1.62662472)}^{5} - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 1.62662472$ в степень $5$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1.62662472$ в степень $3$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 \cdot - 4.30389932 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4.30389932$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Этап 11.2.1.4

Возведем $- 1.62662472$ в степень $2$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + 2.64590798 + 2$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $- 11.38772158$ и $17.21559731$ .

$f (- 1.62662472) = 5.82787573 + 2.64590798 + 2$

Этап 11.2.2.2

Добавим $5.82787573$ и $2.64590798$ .

$f (- 1.62662472) = 8.47378371 + 2$

Этап 11.2.2.3

Добавим $8.47378371$ и $2$ .

$f (- 1.62662472) = 10.47378371$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $10.47378371$ .

$y = 10.47378371$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 + 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$20 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 2$

Этап 13.1.2

Умножим $20$ на $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 + 2$

Этап 13.1.3

Умножим $- 24$ на $0$ .

$0 + 0 + 2$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 2$

Этап 13.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 14

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Этап 15.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + {(0)}^{2} + 2$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{2} + 2$

Этап 15.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Этап 15.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Этап 15.2.2.3

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = 2$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0.16866593$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(0.16866593)}^{3} - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $0.16866593$ в степень $3$ .

$20 \cdot 0.00479824 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Этап 17.1.2

Умножим $20$ на $0.00479824$ .

$0.09596483 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Этап 17.1.3

Умножим $- 24$ на $0.16866593$ .

$0.09596483 - 4.0479824 + 2$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $4.0479824$ из $0.09596483$ .

$- 3.95201757 + 2$

Этап 17.2.2

Добавим $- 3.95201757$ и $2$ .

$- 1.95201757$

Этап 18

$x = 0.16866593$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.16866593$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 0.16866593$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.16866593$ .

$f (0.16866593) = {(0.16866593)}^{5} - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $0.16866593$ в степень $5$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Этап 19.2.1.2

Возведем $0.16866593$ в степень $3$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 \cdot 0.00479824 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Этап 19.2.1.3

Умножим $- 4$ на $0.00479824$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Этап 19.2.1.4

Возведем $0.16866593$ в степень $2$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + 0.02844819 + 2$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $0.01919296$ из $0.0001365$ .

$f (0.16866593) = - 0.01905646 + 0.02844819 + 2$

Этап 19.2.2.2

Добавим $- 0.01905646$ и $0.02844819$ .

$f (0.16866593) = 0.00939173 + 2$

Этап 19.2.2.3

Добавим $0.00939173$ и $2$ .

$f (0.16866593) = 2.00939173$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $2.00939173$ .

$y = 2.00939173$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = 1.45795878$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(1.45795878)}^{3} - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Этап 21

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Возведем $1.45795878$ в степень $3$ .

$20 \cdot 3.09910108 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Этап 21.1.2

Умножим $20$ на $3.09910108$ .

$61.98202173 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Этап 21.1.3

Умножим $- 24$ на $1.45795878$ .

$61.98202173 - 34.99101086 + 2$

Этап 21.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Вычтем $34.99101086$ из $61.98202173$ .

$26.99101087 + 2$

Этап 21.2.2

Добавим $26.99101087$ и $2$ .

$28.99101087$

Этап 22

$x = 1.45795878$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1.45795878$ — локальный минимум

Этап 23

Найдем значение y, если $x = 1.45795878$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.45795878$ .

$f (1.45795878) = {(1.45795878)}^{5} - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Этап 23.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Возведем $1.45795878$ в степень $5$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Этап 23.2.1.2

Возведем $1.45795878$ в степень $3$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 \cdot 3.09910108 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Этап 23.2.1.3

Умножим $- 4$ на $3.09910108$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Этап 23.2.1.4

Возведем $1.45795878$ в степень $2$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + 2.12564382 + 2$

Этап 23.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.1

Вычтем $12.39640434$ из $6.58758507$ .

$f (1.45795878) = - 5.80881926 + 2.12564382 + 2$

Этап 23.2.2.2

Добавим $- 5.80881926$ и $2.12564382$ .

$f (1.45795878) = - 3.68317544 + 2$

Этап 23.2.2.3

Добавим $- 3.68317544$ и $2$ .

$f (1.45795878) = - 1.68317544$

Этап 23.2.3

Окончательный ответ: $- 1.68317544$ .

$y = - 1.68317544$

Этап 24

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ .

$(- 1.62662472, 10.47378371)$ — локальный максимум

$(0, 2)$ — локальный минимум

$(0.16866593, 2.00939173)$ — локальный максимум

$(1.45795878, - 1.68317544)$ — локальный минимум

Этап 25