Математический анализ Примеры

$5 x^{3} = y^{3} - 4 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{3} - 4 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 x^{2})$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $y^{3} - 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' - 4 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$15 x^{2} = 3 y^{2} y' - 4 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $3 y^{2} y' - 4 y' = 15 x^{2}$ .

$3 y^{2} y' - 4 y' = 15 x^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' - 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y' = 15 x^{2}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 4 = 15 x^{2}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$ на $3 y^{2} - 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$ на $3 y^{2} - 4$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4)}{3 y^{2} - 4} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4)}{3 y^{2} - 4} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$