Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} e^{x} - (x^{2} - 1) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} e^{x} d x + \int_{- 1}^{1} - (x^{2} - 1) d x$

Этап 2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - (x^{2} - 1) d x$

Этап 3

Умножим $- (x^{2} - 1)$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} - - 1 d x$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $e^{x}]_{- 1}^{1}$ и $x]_{- 1}^{1}$ .

$e^{x} + x]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $e^{x} + x$ в $1$ и в $- 1$ .

$(e^{1} + 1) - (e^{- 1} - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$(e^{1} + 1) - (e^{- 1} - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Упростим.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 10.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 10.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Этап 10.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Этап 10.2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Этап 10.2.3.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 10.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - \frac{1 + 1}{3}$

Этап 10.2.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - \frac{2}{3}$

Этап 10.2.3.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$e + \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Этап 10.2.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$e + \frac{3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Этап 10.2.3.11

Вычтем $2$ из $3$ .

$e + \frac{1}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Этап 10.2.3.12

Чтобы записать $- (e^{- 1} - 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{1}{3} - (e^{- 1} - 1) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 10.2.3.13

Объединим $- (e^{- 1} - 1)$ и $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{1}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 1) \cdot 3}{3}$

Этап 10.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$e + \frac{1 - (e^{- 1} - 1) \cdot 3}{3}$

Этап 10.2.3.15

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e + \frac{1 - 3 (e^{- 1} - 1)}{3}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e + \frac{1 - 3 (\frac{1}{e} - 1)}{3}$

Этап 11.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e + \frac{1 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 1}{3}$

Этап 11.1.1.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{e}$ .

$e + \frac{1 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 1}{3}$

Этап 11.1.1.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$e + \frac{1 + \frac{- 3}{e} + 3}{3}$

Этап 11.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e + \frac{1 - \frac{3}{e} + 3}{3}$

Этап 11.1.1.6

Добавим $1$ и $3$ .

$e + \frac{4 - \frac{3}{e}}{3}$

Этап 11.1.1.7

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$e + \frac{\frac{4 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

Этап 11.1.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$e + \frac{\frac{4 e - 3}{e}}{3}$

Этап 11.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e + \frac{4 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 11.1.3

Умножим $\frac{4 e - 3}{e}$ на $\frac{1}{3}$ .

$e + \frac{4 e - 3}{e \cdot 3}$

Этап 11.1.4

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$e + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Этап 11.2

Чтобы записать $e$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 e}{3 e}$ .

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Этап 11.3

Объединим $e$ и $\frac{3 e}{3 e}$ .

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Этап 11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e (3 e) + 4 e - 3}{3 e}$

Этап 11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$\frac{3 \cdot e e + 4 e - 3}{3 e}$

Этап 11.5.2

Умножим $3 e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e) + 4 e - 3}{3 e}$

Этап 11.5.2.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 4 e - 3}{3 e}$

Этап 11.5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 e^{1 + 1} + 4 e - 3}{3 e}$

Этап 11.5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 e^{2} + 4 e - 3}{3 e}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 e^{2} + 4 e - 3}{3 e}$

Десятичная форма:

$3.68373572 \dots$

Этап 13