Математический анализ Примеры

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

Этап 1

Пусть $u = 3 a x + b x^{3}$ . Тогда $d u = 3 x d a$ , следовательно $\frac{1}{3 x} d u = d a$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 a x + b x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 a x + b x^{3}$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d a} [3 a x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3 x$ является константой относительно $a$ , производная $3 a x$ по $a$ равна $3 x \frac{d}{d a} [a]$ .

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $b x^{3}$ является константой относительно $a$ , производная $b x^{3}$ относительно $a$ равна $0$ .

$3 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$3 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $b x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.2

Объединим $b x^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.4

Перенесем $3$ влево от $b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.5

Добавим $- b x^{2}$ и $3 b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.6

Умножим $\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ на $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.7

Объединим.

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.9.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.10.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.10.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.13

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Этап 2.14

Умножим $\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ на $\frac{1}{3 x}$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

Этап 2.15

Умножим $3$ на $3$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

Этап 2.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

Этап 2.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

Этап 2.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

Этап 2.19

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{9 x^{2}}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{9 x^{2}}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

Развернем $(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.7

Изменим порядок $u^{\frac{1}{2}}$ и $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 7

Поскольку $2 b x^{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2 b x^{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$