Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} + 7 x + 6}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{2} + 7 x + 6}{lim_{x \to 0} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 6}{lim_{x \to 0} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 6}{lim_{x \to 0} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 6}{lim_{x \to 0} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 7 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}{lim_{x \to 0} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 7 lim_{x \to 0} x + 6}{lim_{x \to 0} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x - 4)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 7 lim_{x \to 0} x + 6}{{(lim_{x \to 0} x - 4)}^{2}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 7 lim_{x \to 0} x + 6}{{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4)}^{2}}$

Этап 9

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 7 lim_{x \to 0} x + 6}{{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2} + 7 lim_{x \to 0} x + 6}{{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2} + 7 \cdot 0 + 6}{{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2} + 7 \cdot 0 + 6}{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 7 \cdot 0 + 6}{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 11.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0 + 6}{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 11.1.3

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{0 + 0 + 6}{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 11.1.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0 + 6}{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 11.1.5

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{6}{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{6}{{(0 - 4)}^{2}}$

Этап 11.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{6}{{(- 4)}^{2}}$

Этап 11.2.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{6}{16}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $6$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{16}$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 8}$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 8}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{8}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{8}$

Десятичная форма:

$0.375$