Математический анализ Примеры

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Этап 1.1.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Этап 1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Этап 1.1.5.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Этап 1.1.5.2

Сократим общий множитель ${(1 + 4 x)}^{2}$ и $1 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Вынесем множитель $1 + 4 x$ из $(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

Этап 1.1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Этап 1.1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

Этап 1.1.5.2.2.4

Разделим $B (1 + 4 x)$ на $1$ .

$x = A + B (1 + 4 x)$

Этап 1.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

Этап 1.1.5.4

Умножим $B$ на $1$ .

$x = A + B + B (4 x)$

Этап 1.1.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = A + B + 4 B x$

Этап 1.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Перенесем $B$ .

$x = A + B + 4 x B$

Этап 1.1.6.2

Перенесем $B$ .

$x = A + 4 x B + B$

Этап 1.1.6.3

Изменим порядок $A$ и $4 x B$ .

$x = 4 x B + A + B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 4 B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $B$ в $1 = 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2

Разделим каждый член $4 B = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Разделим каждый член $4 B = 1$ на $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = A + B$ на $\frac{1}{4}$ .

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Этап 1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Этап 1.3.3

Решим относительно $A$ в $0 = A + \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + \frac{1}{4} = 0$ .

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Этап 1.3.4

Решим систему уравнений.

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Этап 1.5.3

Перенесем $4$ влево от ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Этап 1.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

Этап 1.5.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 1 + 4 x$ . Тогда $d u_{1} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 1 + 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$0 + 4$

Этап 5.1.4

Добавим $0$ и $4$ .

$4$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 6.2

Перенесем $4$ влево от ${u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 8.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 8.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 8.2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 8.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = 1 + 4 x$ . Тогда $d u_{2} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = 1 + 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Этап 11.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 11.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 11.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Этап 11.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$0 + 4$

Этап 11.1.4

Добавим $0$ и $4$ .

$4$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Этап 12.2

Перенесем $4$ влево от $u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 15

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим.

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16.2.2

Умножим $\frac{1}{16}$ на $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16.2.3

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$