Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.2.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{5 - 5 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} \tan (3 x - 3)}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Этап 1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Этап 1.3.1.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Этап 1.3.1.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 3)}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (0)}$

Этап 1.3.3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Этап 1.3.3.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $5 - 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Этап 3.5

Вычтем $10 x$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Этап 3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \tan (3 x - 3)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 3 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Этап 3.7.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Этап 3.8

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3]}$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $3 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.12

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.13

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + 0)}$

Этап 3.14

Добавим $3$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \cdot 3}$

Этап 3.15

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $- 10$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12 \sec^{2} (3 x - 3)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{- 5 x}{6 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Этап 5

Вынесем член $\frac{- 5}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 5}{6} lim_{x \to 1} \frac{x}{\sec^{2} (3 x - 3)}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sec^{2} (3 x - 3)}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (3 x - 3)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} \sec (3 x - 3))}^{2}}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Этап 11

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим.

$\frac{- 5 \cdot 1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Этап 13.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Этап 13.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 13.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 3)}$

Этап 13.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (0)}$

Этап 13.3.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{- 5}{6 \cdot 1^{2}}$

Этап 13.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 5}{6 \cdot 1}$

Этап 13.4

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{- 5}{6}$

Этап 13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{6}$