Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Этап 4

Пусть $x = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 5.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 5.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{\tan (t)}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Выразим $\tan (t)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Этап 5.2.3.2

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Этап 5.2.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Этап 5.2.3.5

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Этап 6

Интеграл $\csc (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$