Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 5}{x + 3} d x$

Этап 1

Разделим $2 x^{3} + 4 x^{2} - 5$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			+	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 6 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$6$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$6$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$
							+	$6 x$	+	$18$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x + 18$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$6$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$
							-	$6 x$	-	$18$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$6$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$
							-	$6 x$	-	$18$
									-	$23$

Этап 1.16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 2 x^{2} - 2 x + 6 - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 x + C + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 x + C + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - \int \frac{23}{x + 3} d x$

Этап 10

Поскольку $23$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $23$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - (23 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Этап 11

Умножим $23$ на $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - 23 \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 12

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 12.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - 23 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - 23 (\ln (| u |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 6 x - 23 \ln (| u |) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 6 x - 23 \ln (| x + 3 |) + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 6 x - 23 \ln (| x + 3 |) + C$