Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{5 x + 18}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 18}$ в виде ${(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 5 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 18$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $5 x + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 1.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 1.11

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 1.12

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Этап 1.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Этап 1.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ и $5$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $\frac{5}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Этап 2.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(5 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 18$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 18$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(5 x + 18)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.7.2

Объединим ${(5 x + 18)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{{(5 x + 18)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(5 x + 18)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x + 18))$

Этап 2.7.4

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{2 (2 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (5 x + 18)$

Этап 2.7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x + 18)$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $5 x + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (18))$

Этап 2.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (18))$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (18))$

Этап 2.11

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (5 + \frac{d}{d x} (18))$

Этап 2.12

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (5 + 0)$

Этап 2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $5$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 5$

Этап 2.13.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.3

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 \cdot 5}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.1

Умножим $- 5$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 25}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{25}{4 {(5 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 18}$ в виде ${(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 18$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.7.3

Перенесем ${(5 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 18]$

Этап 4.1.8

По правилу суммы производная $5 x + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 4.1.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 4.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 4.1.11

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 4.1.12

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Этап 4.1.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Этап 4.1.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ и $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$5 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $5 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{5}{2 \sqrt{{(5 x + 18)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{5}{2 \sqrt{5 x + 18}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{5}{2 \sqrt{5 x + 18}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{5 x + 18} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{5 x + 18})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 18}$ в виде ${(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(5 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(5 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(5 x + 18)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (5 x + 18) = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (5 x) + 4 \cdot 18 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.6.1

Умножим $5$ на $4$ .

$20 x + 4 \cdot 18 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.6.2

Умножим $4$ на $18$ .

$20 x + 72 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$20 x + 72 = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $72$ из обеих частей уравнения.

$20 x = - 72$

Этап 6.3.3.2

Разделим каждый член $20 x = - 72$ на $20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Разделим каждый член $20 x = - 72$ на $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{- 72}{20}$

Этап 6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x}{20} = \frac{- 72}{20}$

Этап 6.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 72}{20}$

Этап 6.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 72$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 72$ .

$x = \frac{4 (- 18)}{20}$

Этап 6.3.3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{4 \cdot - 18}{4 \cdot 5}$

Этап 6.3.3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 \cdot - 18}{4 \cdot 5}$

Этап 6.3.3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 18}{5}$

Этап 6.3.3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{18}{5}$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 x + 18}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 x + 18 < 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вычтем $18$ из обеих частей неравенства.

$5 x < - 18$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $5 x < - 18$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $5 x < - 18$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} < \frac{- 18}{5}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} < \frac{- 18}{5}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 18}{5}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x < - \frac{18}{5}$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - \frac{18}{5}$

$(- \infty, - \frac{18}{5}]$

$x \leq - \frac{18}{5}$

$(- \infty, - \frac{18}{5}]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{18}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{18}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{25}{4 {(5 (- \frac{18}{5}) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{18}{5}$ в числитель.

$- \frac{25}{4 {(5 (\frac{- 18}{5}) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{25}{4 {(5 (\frac{- 18}{5}) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{25}{4 {(- 18 + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 18$ и $18$ .

$- \frac{25}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{25}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{25}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{25}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{25}{4 \cdot 0^{3}}$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{25}{4 \cdot 0}$

Этап 9.4.2

Умножим $4$ на $0$ .

$- \frac{25}{0}$

Этап 9.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{25}{0}$

Этап 9.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11