Математический анализ Примеры

$y = x^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Этап 1.1.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 1.5.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 1.6.2

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 1.6.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.4

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.7

Объединим $e^{x \ln (x)}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.8

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.9

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.10

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.11

Чтобы записать $\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 2.3.2

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 2.3.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 2.3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 2.3.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln (x)} + (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Этап 2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Этап 2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5.2

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5.3

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + {\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5.6

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5.7

Чтобы записать $e^{x \ln (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 2.4.5.9

Чтобы записать $e^{x \ln (x)} \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Этап 2.4.5.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Этап 2.4.5.11

Изменим порядок $e^{x \ln (x)}$ и $x$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

Этап 2.4.5.12

Добавим $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ и $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + 2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

Этап 2.4.6

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$

Этап 2.4.7

Изменим порядок множителей в $\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x) + x e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)}}{x}$