Математический анализ Примеры

$y = 5 \sqrt{x^{2} + 9}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 9}$ в виде ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 9$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 9$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Этап 4.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $5$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 4.10

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 4.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 4.11.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 4.11.3

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 4.11.4

Объединим $\frac{10}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{10 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11.5

Вынесем множитель $2$ из $10 x$ .

$\frac{2 (5 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x)}{2 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$