Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{6} \sqrt{x} - 12}{x - 6}$

Этап 1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 6} \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 \sqrt{lim_{x \to 6} x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.1.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 \cdot 6} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{2 \sqrt{36} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 \sqrt{x \cdot 6} - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{6 \cdot x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x}$ в виде ${(6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.3

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.4

Применим правило умножения к $6 (x)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 (6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.5

Поскольку $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.13

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.14

Объединим $6^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.15

Перенесем $2$ влево от $6^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.16

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.17

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.3.18

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.5

Добавим $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 2.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $6^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}} \cdot 1$

Этап 2.6

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\sqrt{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{6} lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\sqrt{6} \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Этап 3.4

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 6} x}}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$1$