Математический анализ Примеры

$\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin^{2} (x)$ и $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $1 + \cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1 + \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + 1 \sin^{2} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 8

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 1 \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.4.2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{\sin (2 x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.4.3

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (x) (2 \cos (x)) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.4.4

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\frac{\sin (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.4.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$