Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{0} (\frac{1}{2} t^{4} + \frac{1}{4} t^{3} - t) d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} t^{4} + \frac{1}{4} t^{3} - t d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} t^{4} d t + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{0} t^{4} d t + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{4}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{0} t^{3} d t + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - t d t$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} t d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{2} t^{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} t^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{1}{5} t^{5}$ в $0$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} \frac{1}{4} t^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{1}{4} t^{4}$ в $0$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - (\frac{t^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 9.2.3

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.3

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} \cdot - 32) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.4

Умножим $- 32$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 32 (\frac{1}{5})) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.5

Объединим $32$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} (0 + \frac{32}{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.6

Добавим $0$ и $\frac{32}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{32}{5}$ .

$\frac{32}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.8

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{32}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.9

Сократим общий множитель $32$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$\frac{2 (16)}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.11

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.12

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} \cdot 16) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.13

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{4})) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.14

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.15

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.15.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.15.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 4}{1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.15.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 4) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.16

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} \cdot - 4 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.17

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 4}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.18

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.18.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.18.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{5} + \frac{- 1}{1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.18.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{16}{5} - 1 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.19

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.20

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 - 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.22.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{16 - 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.22.2

Вычтем $5$ из $16$ .

$\frac{11}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.23

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.24

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.24.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.24.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.24.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.24.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.24.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.25

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{4}{2})$

Этап 9.2.4.26

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.26.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 9.2.4.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.26.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 9.2.4.26.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.26.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2}{1})$

Этап 9.2.4.26.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{11}{5} - (0 - 1 \cdot 2)$

Этап 9.2.4.27

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - 2)$

Этап 9.2.4.28

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{11}{5} - - 2$

Этап 9.2.4.29

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{11}{5} + 2$

Этап 9.2.4.30

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{11}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 9.2.4.31

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{11}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Этап 9.2.4.32

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{11 + 2 \cdot 5}{5}$

Этап 9.2.4.33

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.33.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{11 + 10}{5}$

Этап 9.2.4.33.2

Добавим $11$ и $10$ .

$\frac{21}{5}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{21}{5}$

Десятичная форма:

$4.2$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{5}$

Этап 11