Математический анализ Примеры

$\cos (x) - \csc (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\cos (x) - \csc (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \csc (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 3.2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \sin (x) - (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \sin (x) + 1 (\csc (x) \cot (x))$

Этап 3.4

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$- \sin (x) + \csc (x) \cot (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\cot (x) \csc (x) - \sin (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) - \sin (x)$

Этап 4.2.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 4.2.3

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \sin (x)$

Этап 4.2.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} - \sin (x)$

Этап 4.2.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} - \sin (x)$

Этап 4.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \sin (x)$

Этап 4.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \sin (x)$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \sin (x)$

Этап 4.3.2

Разделим дроби.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 4.3.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cot (x) - \sin (x)$

Этап 4.3.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\csc (x) \cot (x) - \sin (x)$