Математический анализ Примеры

$\frac{2 x}{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 - 3 x^{2}}$ в виде ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - 3 x^{2})}^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 5.2

Умножим ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - 3 x^{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - 3 x^{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 11.3

Перенесем ${(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}]}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 12

По правилу суммы производная $5 - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 13

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 15

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 16.2

Объединим $3$ и $\frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Объединим $2$ и $\frac{3 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (3 x)}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 18.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 18.3

Объединим $\frac{6 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x \cdot x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 19

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 (x^{1} x)}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 20

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 (x^{1} x^{1})}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{1 + 1}}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 22

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{2}}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 23

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 24

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 ({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 24.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 24.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 25

Чтобы записать ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 26

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 27

Умножим ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 27.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 27.3

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 27.4

Разделим $2$ на $2$ .

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{1} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 28

Упростим ${(5 - 3 x^{2})}^{1}$ .

$2 \frac{\frac{5 - 3 x^{2} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 29

Добавим $- 3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{5 + 0}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 30

Добавим $5$ и $0$ .

$2 \frac{\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Этап 31

Перепишем $\frac{\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$ в виде произведения.

$2 (\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{5 - 3 x^{2}})$

Этап 32

Умножим $\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{5 - 3 x^{2}}$ .

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (5 - 3 x^{2})}$

Этап 33

Умножим ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $5 - 3 x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.1

Умножим ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $5 - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 33.1.1

Возведем $5 - 3 x^{2}$ в степень $1$ .

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x^{2})}^{1}}$

Этап 33.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 33.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 33.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 33.4

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 34

Объединим $2$ и $\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 35.2

Изменим порядок членов.

$\frac{10}{{(- 3 x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$