Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \sin (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \sin (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 1.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 1.5.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.5.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $e^{u_{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

Этап 5.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.85914091 \dots$