Математический анализ Примеры

$y = e^{8 x + 9}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{8 x + 9})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 8 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x + 9$ .

$e^{8 x + 9} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $8 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$e^{8 x + 9} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.2.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{8 x + 9} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{8 x + 9} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.2.4

Умножим $8$ на $1$ .

$e^{8 x + 9} (8 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.2.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{8 x + 9} (8 + 0)$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $8$ и $0$ .

$e^{8 x + 9} \cdot 8$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $8$ влево от $e^{8 x + 9}$ .

$8 e^{8 x + 9}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 8 e^{8 x + 9}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{8 x + 9}$