Математический анализ Примеры

$y = \frac{x + 1}{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $1 \cdot 1$ из $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}}$