Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Этап 3.1.2

Перепишем $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ в виде ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x) + \cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x) + \cos (x)$ .

$3 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 3.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 3.7.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 3.7.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$