Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \cos (x) - 4 \sin (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 \cos (x) - 4 \sin (x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 \cos (x) d x + \int - 4 \sin (x) d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \cos (x) d x + \int - 4 \sin (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$3 (\sin (x) + C) + \int - 4 \sin (x) d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$3 (\sin (x) + C) - 4 \int \sin (x) d x$

Этап 7

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$3 (\sin (x) + C) - 4 (- \cos (x) + C)$

Этап 8

Упростим.

$3 \sin (x) + 4 \cos (x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 \cos (x) - 4 \sin (x)$ .

$F (x) =$ $3 \sin (x) + 4 \cos (x) + C$