Математический анализ Примеры

$y = x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(2 x^{3} - 1)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 1)}^{3}] + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{3} - 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{3} - 1$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + 0)) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2})) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.6.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} (2 x)$

Этап 6

Перенесем $2$ влево от ${(2 x^{3} - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 \cdot {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ из $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ из $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2})$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ из $2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ из $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

Этап 7.2.2

Перенесем $9$ влево от $x^{3}$ .

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (9 \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 1)$

Этап 7.2.3

Добавим $9 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.3

Перепишем ${(2 x^{3} - 1)}^{2}$ в виде $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ .

$2 x ((2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.4

Развернем $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3} - 1) - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3} x^{3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x (2 \cdot 2 (x^{3} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5.1.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$2 x (2 \cdot 2 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x (4 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.5.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$2 x (4 x^{6} - 4 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (4 x^{6}) + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Перенесем $x^{6}$ .

$(2 \cdot 4 (x^{6} x) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.1.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 \cdot 4 (x^{6} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 \cdot 4 x^{6 + 1} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.1.3

Добавим $6$ и $1$ .

$(2 \cdot 4 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.2

Умножим $2$ на $4$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.3

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.3.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x^{1}) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{3 + 1} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.3.3

Добавим $3$ и $1$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.8.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Этап 7.9

Развернем $(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$8 x^{7} (11 x^{3}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.2

Умножим $x^{7}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$8 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \cdot 11 x^{3 + 7} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.2.3

Добавим $3$ и $7$ .

$8 \cdot 11 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.3

Умножим $8$ на $11$ .

$88 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.6

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{3 + 4} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.6.3

Добавим $3$ и $4$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.7

Умножим $- 8$ на $11$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.8

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.10

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.10.1

Перенесем $x^{3}$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.10.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{3 + 1} + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.10.3

Добавим $3$ и $1$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.11

Умножим $2$ на $11$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

Этап 7.10.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

Этап 7.11

Вычтем $88 x^{7}$ из $- 8 x^{7}$ .

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

Этап 7.12

Добавим $8 x^{4}$ и $22 x^{4}$ .

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 30 x^{4} - 2 x$