Математический анализ Примеры

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (\frac{x}{2})$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{x}{2}$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4.2.4

Разделим $- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \cdot 1$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$