Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{4 \ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{4 \ln (1 + 0) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.10.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4 \ln (1) + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.10.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.10.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.10.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.10.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.2.10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Этап 1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Этап 1.3.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0}$

Этап 1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Этап 1.3.6.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 4 \cdot 0}$

Этап 1.3.6.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}}{5 x^{2} + 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $4 \ln (1 - 2 x) + 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (1 - 2 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.8

Вычтем $2$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.9

Объединим $\frac{1}{1 - 2 x}$ и $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{- 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (- \frac{2}{1 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.11

Умножим $- 1$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \frac{2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.12

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.13

Умножим $- 4$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 2 (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.4.3

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + 6 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Чтобы записать $6 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{6 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 8 + 6 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4 x]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 3.7.3

Умножим $2$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4 \cdot 1}$

Этап 3.8.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}{10 x + 4}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1} \cdot \frac{1}{10 x + 4}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}$ на $\frac{1}{10 x + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $6 x^{2} (1 - 2 x) - 8$ и $10 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2} (1 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) - 8}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) + 2 (- 4)}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2} (1 - 2 x)) + 2 (- 4)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{(- 2 x + 1) (10 x + 4)}$

Этап 5.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $(- 2 x + 1) (10 x + 4)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{2 ((- 2 x + 1) (5 x + 2))}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} (1 - 2 x) - 4)}{2 ((- 2 x + 1) (5 x + 2))}$

Этап 5.2.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} (1 - 2 x) - 4}{(- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - 2 x) - 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 12

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 13

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 14

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} (- 2 x + 1) (5 x + 2)}$

Этап 15

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} - 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

Этап 16

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

Этап 17

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

Этап 18

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} 5 x + 2}$

Этап 19

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 2)}$

Этап 20

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2)}$

Этап 21

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

Этап 22

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

Этап 22.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

Этап 22.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 lim_{x \to 0} x + 2)}$

Этап 22.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.1.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0 - 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.1.7

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{- 4}{(- 2 \cdot 0 + 1) \cdot (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{- 4}{(0 + 1) (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{- 4}{1 (5 \cdot 0 + 2)}$

Этап 23.2.3

Умножим $5 \cdot 0 + 2$ на $1$ .

$\frac{- 4}{5 \cdot 0 + 2}$

Этап 23.2.4

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 2}$

Этап 23.2.5

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{- 4}{2}$

Этап 23.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$- 2$