Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{10}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{30}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $30$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $10 x^{2}$ на $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $10 x^{2} - 2 x - 8$ и $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $10 x^{2} - 2 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{2}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $10$ .

$f'' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $20 x - 2$ и $0$ .

$f'' (x) = 20 x - 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.4

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{30}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $30$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $10 x^{2}$ на $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $10 x^{2} - 2 x - 8$ и $0$ .

$f' (x) = 10 x^{2} - 2 x - 8$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $10 x^{2} - 2 x - 8$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{2} - 2 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{2}$ .

$2 (5 x^{2}) - 2 x - 8 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) - 8 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 4) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (5 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4)$ .

$2 (5 x^{2} - x - 4) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$2 (5 x^{2} - (x) - 4) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $4$ плюс $- 5$

$2 (5 x^{2} + (4 - 5) x - 4) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (5 x^{2} + 4 x - 5 x - 4) = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((5 x^{2} + 4 x) - 5 x - 4) = 0$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x (5 x + 4) - (5 x + 4)) = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x + 4$ .

$2 ((5 x + 4) (x - 1)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $5 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $5 x + 4$ к $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $5 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 4$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{5}$

Этап 5.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{4}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 (- \frac{4}{5}) - 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5}$ в числитель.

$20 (\frac{- 4}{5}) - 2$

Этап 9.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$5 (4) \frac{- 4}{5} - 2$

Этап 9.1.1.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 4 \frac{- 4}{5} - 2$

Этап 9.1.1.4

Перепишем это выражение.

$4 \cdot - 4 - 2$

Этап 9.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$- 16 - 2$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $- 16$ .

$- 18$

Этап 10

$x = - \frac{4}{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{4}{5}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot {(- \frac{4}{5})}^{3} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{5})}^{3}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{5^{3}})) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{4^{3}}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{125}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{64}{125}$ в числитель.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 (2)}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.5.3

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 64}{25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.6

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{- 64}{25}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2 \cdot - 64}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.7

Умножим $2$ на $- 64$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.8

Умножим $3$ на $25$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.10.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.11

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.11.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.11.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.11.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.11.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{3} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{4^{2}}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.13

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.14

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.15

Умножим $- 8 (- \frac{4}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.15.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + 8 (\frac{4}{5}) + 48$

Этап 11.2.1.15.2

Объединим $8$ и $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{8 \cdot 4}{5} + 48$

Этап 11.2.1.15.3

Умножим $8$ на $4$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{32}{5} + 48$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{16}{25}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{5} + 48$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{16}{25}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} + 48$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{32}{5}$ на $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} \cdot \frac{15}{15} + 48$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{32}{5}$ на $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + 48$

Этап 11.2.2.5

Запишем $48$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1}$

Этап 11.2.2.6

Умножим $\frac{48}{1}$ на $\frac{75}{75}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1} \cdot \frac{75}{75}$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{48}{1}$ на $\frac{75}{75}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Этап 11.2.2.8

Изменим порядок множителей в $25 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 25} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Этап 11.2.2.9

Умножим $3$ на $25$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $5$ на $15$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{75} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 16$ на $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $32$ на $15$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 48 \cdot 75}{75}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $48$ на $75$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 3600}{75}$

Этап 11.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Вычтем $48$ из $- 128$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 176 + 480 + 3600}{75}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $- 176$ и $480$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{304 + 3600}{75}$

Этап 11.2.5.3

Добавим $304$ и $3600$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{3904}{75}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{3904}{75}$ .

$y = \frac{3904}{75}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 (1) - 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $20$ на $1$ .

$20 - 2$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $20$ .

$18$

Этап 14

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot 1 - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Этап 15.2.1.2

Умножим $\frac{10}{3}$ на $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Этап 15.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 48$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 \cdot 1 + 48$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 + 48$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} - 8 + 48$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8 + 48$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8 + 48$

Этап 15.2.2.4

Запишем $- 8$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} + 48$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{- 8}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48$

Этап 15.2.2.6

Умножим $\frac{- 8}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 48$

Этап 15.2.2.7

Запишем $48$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1}$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{48}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.2.9

Умножим $\frac{48}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{10 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 8$ на $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 48 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $48$ на $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 144}{3}$

Этап 15.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Вычтем $3$ из $10$ .

$f (1) = \frac{7 - 24 + 144}{3}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $24$ из $7$ .

$f (1) = \frac{- 17 + 144}{3}$

Этап 15.2.5.3

Добавим $- 17$ и $144$ .

$f (1) = \frac{127}{3}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{127}{3}$ .

$y = \frac{127}{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ .

$(- \frac{4}{5}, \frac{3904}{75})$ — локальный максимум

$(1, \frac{127}{3})$ — локальный минимум

Этап 17