Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \arcsin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arcsin (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$\arcsin (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\arcsin (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 2.2

Объединим $\arcsin (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Этап 4

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 5

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{3} (t) d t$

Этап 7

Вынесем $\sin^{2} (t)$ за скобки.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Этап 8

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (t)$ в виде $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Этап 9

Пусть $u = \cos (t)$ . Тогда $d u = - \sin (t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 9.1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int - 1 + u^{2} d u$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \int u^{2} d u)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$\frac{1}{3} \arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 13.2.2

Объединим $\frac{\arcsin (x)}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 13.2.3

Чтобы записать $- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Этап 13.2.4

Объединим $- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 13.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 13.2.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 13.2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Этап 13.2.8

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Этап 13.2.9

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Этап 13.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Этап 13.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Этап 13.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Этап 13.2.9.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3})}{3} + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (\arcsin (x)) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (x))$ равно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Этап 15.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1^{2} - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Этап 15.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.3

Умножим $- - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + 1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.3.2

Умножим $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1 - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.3

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.4

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}$ в виде $\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.5

Применим правило умножения к $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.6

Перепишем ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.6.1

Вынесем ${(1 + x)}^{2}$ за скобки.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.6.2

Вынесем ${(1 - x)}^{2}$ за скобки.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) ({(1 - x)}^{2} (1 - x))}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.6.3

Перенесем $1 + x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.6.4

Перепишем ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.6.5

Добавим круглые скобки.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.8

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.9.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.9.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.9.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.9.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x \cdot x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.9.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.9.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.9.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.9.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 0 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.9.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.11

Умножим $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.12

Вынесем множитель $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ из $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.12.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.12.2

Вынесем множитель $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ из $- x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.12.3

Вынесем множитель $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ из $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.13

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1^{2} - x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 15.4.14

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Этап 15.5

Чтобы записать $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Этап 15.6

Объединим $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Этап 15.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Этап 15.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.1

Вынесем множитель $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ из $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.1.1

Вынесем множитель $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ из $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ из $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.1.3

Вынесем множитель $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ из $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 \cdot 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.5

Развернем $(- 1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 (1 - x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.6.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.1.2

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 1 x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - x (- x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.8.6.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 0 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.6.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 15.8.7

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} (\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}) + C$