Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 5$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 1}$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$	$5$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$13$

Этап 2.7

Умножим последний элемент в области результата $(13)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(13)$ под следующим членом делимого $(5)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$	$18$

Этап 2.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Этап 2.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Этап 3

Поскольку $1 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $1$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $1$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 5}$ при $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$	$9$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(9)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(45)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$	$53$

Этап 4.7

Умножим последний элемент в области результата $(53)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(265)$ под следующим членом делимого $(5)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$	$270$

Этап 4.9

$1 x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Этап 4.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Этап 5

Поскольку $5 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $5$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $5$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x + 5}$ при $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$	$- 1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 1)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$	$13$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(13)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 65)$ под следующим членом делимого $(5)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$	$- 60$

Этап 6.9

$1 x^{2} + - 1 x + 13 + \frac{- 60}{x + 5}$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - x + 13 - \frac{60}{x + 5}$

Этап 7

Поскольку $- 5 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 5$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 5$

Этап 8

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $1, 5$

Нижняя граница: $- 5$

Этап 9