Математический анализ Примеры

$\int \frac{8 x^{4} - 21 x^{3} + 10 x^{2}}{x} d x$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $8 x^{4} - 21 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $8 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) - 21 x^{3} + 10 x^{2}}{x} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 21 x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x) + 10 x^{2}}{x} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x) + x^{2} \cdot 10}{x} d x$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (8 x^{2}) + x^{2} (- 21 x)$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2} - 21 x) + x^{2} \cdot 10}{x} d x$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (8 x^{2} - 21 x) + x^{2} \cdot 10$ .

$\int \frac{x^{2} (8 x^{2} - 21 x + 10)}{x} d x$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (8 x^{2} - 21 x + 10)$ .

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x} d x$

Этап 1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x^{1}} d x$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x \cdot 1} d x$

Этап 1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (x (8 x^{2} - 21 x + 10))}{x \cdot 1} d x$

Этап 1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{x (8 x^{2} - 21 x + 10)}{1} d x$

Этап 1.2.2.5

Разделим $x (8 x^{2} - 21 x + 10)$ на $1$ .

$\int x (8 x^{2} - 21 x + 10) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (8 x^{2} - 21 x) + x \cdot 10 d x$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (8 x^{2}) + x (- 21 x) + x \cdot 10 d x$

Этап 2.3

Изменим порядок $x$ и $8$ .

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} + x (- 21 x) + x \cdot 10 d x$

Этап 2.4

Изменим порядок $x$ и $- 21$ .

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} - 21 \cdot x \cdot x + x \cdot 10 d x$

Этап 2.5

Изменим порядок $x$ и $10$ .

$\int 8 \cdot x \cdot x^{2} - 21 \cdot x \cdot x + 10 \cdot x d x$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 8 (x^{1} x^{2}) - 21 x \cdot x + 10 x d x$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 8 x^{1 + 2} - 21 x \cdot x + 10 x d x$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 8 x^{3} - 21 x \cdot x + 10 x d x$

Этап 2.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 8 x^{3} - 21 (x^{1} x) + 10 x d x$

Этап 2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 8 x^{3} - 21 (x^{1} x^{1}) + 10 x d x$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 8 x^{3} - 21 x^{1 + 1} + 10 x d x$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 8 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 x^{3} d x + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Этап 4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int x^{3} d x + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 21 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Этап 6

Поскольку $- 21$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 21$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 \int x^{2} d x + \int 10 x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 10 x d x$

Этап 8

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 \int x d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 21 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 10 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 10 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 10.2.2

Объединим $10$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{10 x^{2}}{2} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{2}$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{4} - 7 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{1} + C$

Этап 10.2.3.2.4

Разделим $5 x^{2}$ на $1$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x^{2} + C$