Математический анализ Примеры

$\int \frac{x - 5}{- 2 x + 2} d x$

Этап 1

Разделим $x - 5$ на $- 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$2$

$x$

$5$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $- 2 x$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				+	$x$	-	$1$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$
						-	$4$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int - \frac{1}{2} - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Этап 3

Сократим общий множитель $4$ и $- 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 2} d x$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2} d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2 (1)} d x$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Этап 3.2.5

Перепишем это выражение.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2} x + C + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} x + C - \int \frac{2}{- x + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} x + C - (2 \int \frac{1}{- x + 1} d x)$

Этап 7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 8

Пусть $u = - x + 1$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = - x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 11

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Этап 13

Упростим.

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| u |) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| - x + 1 |) + C$