Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Этап 4

Пусть $u = x^{3} + 2003$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x^{3} + 2003$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{3} + 2003$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 2003$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

Этап 4.1.4

Поскольку $2003$ является константой относительно $x$ , производная $2003$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \sin (u) d u$

Этап 7.3

Умножим $\int \sin (u) d u$ на $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 2003$ .

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ .

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$