Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 5$ и $y = 4$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 5 = 4$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - 5 = 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4 + 5$

Этап 1.2.1.2

Добавим $4$ и $5$ .

$x^{2} = 9$

Этап 1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 1.3

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 4$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 4 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} - 5 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{3} 4 - (x^{2} - 5) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 - x^{2} - - 5$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$4 - x^{2} + 5$

$\int_{- 3}^{3} 4 - x^{2} + 5 d x$

Этап 3.3

Добавим $4$ и $5$ .

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 9 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Этап 3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 9 x]_{- 3}^{3}$

Этап 3.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 3$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 x]_{- 3}^{3}$

Этап 3.9.2

Найдем значение $9 x$ в $3$ и в $- 3$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- (9 - \frac{- 27}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.4

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (9 - \frac{- 9}{1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.4.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- (9 - - 9) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.5

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- (9 + 9) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.6

Добавим $9$ и $9$ .

$- 1 \cdot 18 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.7

Умножим $- 1$ на $18$ .

$- 18 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.8

Умножим $9$ на $3$ .

$- 18 + 27 - 9 \cdot - 3$

Этап 3.9.3.9

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$- 18 + 27 + 27$

Этап 3.9.3.10

Добавим $27$ и $27$ .

$- 18 + 54$

Этап 3.9.3.11

Добавим $- 18$ и $54$ .

$36$

Этап 4