Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $- 5$ на $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

Этап 1.2.2

Умножим $100$ на $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

Этап 1.3

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

Этап 3

Найдем значение $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $20$ и $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $20$ на $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $40$ и $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $420$ на $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$2 (50) \frac{17220}{6}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$50 (\frac{17220}{3})$

Этап 3.3.2.3

Объединим $50$ и $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

Этап 3.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $50$ на $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

Этап 3.3.2.4.2

Разделим $861000$ на $3$ .

$287000$

Этап 4

Найдем значение $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $20$ и $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $20$ на $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 500$ .

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 250 \cdot 420$

Этап 4.3.3

Умножим $- 250$ на $420$ .

$- 105000$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$(100) (20)$

Этап 5.3

Умножим $100$ на $20$ .

$2000$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$287000 - 105000 + 2000$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $105000$ из $287000$ .

$182000 + 2000$

Этап 7.2

Добавим $182000$ и $2000$ .

$184000$