Математический анализ Примеры

$\cos (3 x + \frac{π}{6})$

Этап 1

Запишем $\cos (3 x + \frac{π}{6})$ в виде функции.

$f (x) = \cos (3 x + \frac{π}{6})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos (3 x + \frac{π}{6}) d x$

Этап 4

Пусть $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 x + \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + \frac{π}{6}]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $3 x + \frac{π}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $\frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{6}$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \cos (u) d u$

Этап 7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{3} \sin (u) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + \frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos (3 x + \frac{π}{6})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$