Математический анализ Примеры

$e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

Этап 1

Запишем $e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ в виде функции.

$f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 8

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 9.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$