Математический анализ Примеры

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 4.1.2

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 1) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Этап 4.1.4.2

Разделим $2 x + 1$ на $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Этап 4.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 1 = \frac{A {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Этап 4.1.5.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Этап 4.1.5.2

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ и $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(B) {(x + 2)}^{2}$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{(x + 2) \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{(x + 2) \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x + 1 = A + \frac{B (x + 2)}{1}$

Этап 4.1.5.2.2.4

Разделим $B (x + 2)$ на $1$ .

$2 x + 1 = A + B (x + 2)$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = A + B x + B \cdot 2$

Этап 4.1.5.4

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$2 x + 1 = A + B x + 2 B$

Этап 4.1.6

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$2 x + 1 = B x + A + 2 B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + 2 B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = B$

$1 = A + 2 B$

$2 = B$

$1 = A + 2 B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 2$ .

$B = 2$

$1 = A + 2 B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = A + 2 B$ на $2$ .

$1 = A + 2 (2)$

$B = 2$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$1 = A + 4$

$B = 2$

$1 = A + 4$

$B = 2$

$1 = A + 4$

$B = 2$

Этап 4.3.3

Решим относительно $A$ в $1 = A + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + 4 = 1$ .

$A + 4 = 1$

$B = 2$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - 4$

$B = 2$

Этап 4.3.3.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$A = - 3$

$B = 2$

$A = - 3$

$B = 2$

Этап 4.3.4

Решим систему уравнений.

$A = - 3 B = 2$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$A = - 3, B = 2$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 3}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{2}{x + 2}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (3 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x) + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 9

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 9.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- 3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 10

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 3 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 10.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 10.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 12

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 13

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 13.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 13.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 13.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

$- 3 (- \frac{1}{u_{1}}) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 \frac{1}{u_{1}} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{3}{u_{1}} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| x + 2 |) + C$