Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{4 + 4 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.2.6.3

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8 x - lim_{x \to - 2} 12}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8 x - lim_{x \to - 2} 12}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8 x - lim_{x \to - 2} 12}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 12}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 12}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 12}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 12}$

Этап 1.1.3.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 1 \cdot 12}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{0}{- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 1 \cdot 12}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 1 \cdot 12}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$\frac{0}{- 8 + 4 + 16 - 1 \cdot 12}$

Этап 1.1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{0}{- 8 + 4 + 16 - 12}$

Этап 1.1.3.7.2

Добавим $- 8$ и $4$ .

$\frac{0}{- 4 + 16 - 12}$

Этап 1.1.3.7.3

Добавим $- 4$ и $16$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Этап 1.1.3.7.4

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 8 x - 12]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 1.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 1.3.10.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 1.3.11

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8 + 0}$

Этап 1.3.12

Добавим $3 x^{2} + 2 x - 8$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.2.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8}$

Этап 2.1.3.5

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 2)}^{2} + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 2)}^{2} + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.7.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{0}{12 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.7.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{0}{12 - 4 - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{12 - 4 - 8}$

Этап 2.1.3.7.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Этап 2.1.3.7.3

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

Этап 2.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

Этап 2.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 8]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2 + 0}$

Этап 2.3.10

Добавим $6 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2}{6 x + 2}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ и $6 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{6 x + 2}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 (1)}$

Этап 2.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x + 1)}$

Этап 2.4.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x + 1)}$

Этап 2.4.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x + 1}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} 3 x + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 3 x + 1}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 1}$

Этап 3.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 1}$

Этап 3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to - 2} x + 1}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot - 2 + 1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{1}{- 6 + 1}$

Этап 5.1.2

Добавим $- 6$ и $1$ .

$\frac{1}{- 5}$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{5}$

Десятичная форма:

$- 0.2$