Математический анализ Примеры

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \sin (y)$ и $g (y) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.2.1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 x$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $y$ , производная $- 8 x^{2}$ по $y$ равна $- 8 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x x') + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $y$ , производная $9 x$ по $y$ равна $9 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.4.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + \frac{d}{d y} [π]$

Этап 3.5

Поскольку $π$ является константой относительно $y$ , производная $π$ относительно $y$ равна $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + 0$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$ и $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$ .

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$ .

$4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $4 x' \cos (4 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x)) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $- 16 x x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + 9 x' = 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $9 x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $x'$ из $x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ на $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ на $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$