Математический анализ Примеры

$\cos (x y) = 2 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 2$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 2$

Этап 5.2

Добавим $y \sin (x y)$ к обеим частям уравнения.

$- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$ на $- x \sin (x y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$ на $- x \sin (x y)$ .

$\frac{- x y' \sin (x y)}{- x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $\sin (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Разделим дроби.

$y' = \frac{2}{- x} \cdot \frac{1}{\sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x y)}$ в $\csc (x y)$ .

$y' = \frac{2}{- x} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2}{x} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.3.1.4

Объединим $\csc (x y)$ и $\frac{2}{x}$ .

$y' = - \frac{\csc (x y) \cdot 2}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.3.1.5

Перенесем $2$ влево от $\csc (x y)$ .

$y' = - \frac{2 \cdot \csc (x y)}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.3.1.6

Сократим общий множитель $\sin (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Этап 5.3.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.3.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \csc (x y)}{x} - \frac{y}{x}$