Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Этап 2

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3 \int_{0}^{1} \sin (u) d u$

Этап 3

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$3 (- \cos (u)]_{0}^{1})$

Этап 4

Найдем значение $- \cos (u)$ в $1$ и в $0$ .

$3 (- \cos (1) + \cos (0))$

Этап 5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 (- \cos (1) + 1)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\cos (1)$ .

$3 (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $0.5403023$ .

$3 (- 0.5403023 + 1)$

Этап 6.3

Добавим $- 0.5403023$ и $1$ .

$3 \cdot 0.45969769$

Этап 6.4

Умножим $3$ на $0.45969769$ .

$1.37909308$