Математический анализ Примеры

$5 x - 3 {(x - 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) = 5 x - 3 ((x - 1) (x - 1))$

Этап 1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 5 x - 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 5 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 5 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Этап 1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1$

Этап 1.5.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} + 6 x - 3$

Этап 2

Добавим $5 x$ и $6 x$ .

$f (x) = - 3 x^{2} + 11 x - 3$

Этап 3

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{11}{2 (- 3)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{11}{2 (- 3)}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{11}{2 (- 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = - \frac{11}{- 6}$

Этап 4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{11}{6}$

Этап 4.3.3

Умножим $- - \frac{11}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{11}{6})$

Этап 4.3.3.2

Умножим $\frac{11}{6}$ на $1$ .

$x = \frac{11}{6}$

Этап 5

Найдем значение $f (\frac{11}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11}{6}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 {(\frac{11}{6})}^{2} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{11}{6}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 \frac{11^{2}}{6^{2}} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2.1.2

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 \frac{121}{6^{2}} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 (\frac{121}{36}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (\frac{11}{6}) = 3 (- 1) (\frac{121}{36}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$f (\frac{11}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{121}{3 \cdot 12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{121}{3 \cdot 12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11}{6}) = - 1 (\frac{121}{12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{121}{12})$ в виде $- (\frac{121}{12})$ .

$f (\frac{11}{6}) = - (\frac{121}{12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Этап 5.2.1.6

Умножим $11 (\frac{11}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Объединим $11$ и $\frac{11}{6}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{11 \cdot 11}{6} - 3$

Этап 5.2.1.6.2

Умножим $11$ на $11$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121}{6} - 3$

Этап 5.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $\frac{121}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121}{6} \cdot \frac{2}{2} - 3$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{121}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} - 3$

Этап 5.2.2.3

Запишем $- 3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3}{1}$

Этап 5.2.2.4

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Этап 5.2.2.5

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Этап 5.2.2.6

Изменим порядок множителей в $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Этап 5.2.2.7

Умножим $2$ на $6$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{12} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 121 \cdot 2 - 3 \cdot 12}{12}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $121$ на $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 242 - 3 \cdot 12}{12}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $- 3$ на $12$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 242 - 36}{12}$

Этап 5.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $- 121$ и $242$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{121 - 36}{12}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $36$ из $121$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{85}{12}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{85}{12}$ .

$\frac{85}{12}$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(\frac{11}{6}, \frac{85}{12})$

Этап 7