Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x + 4} - 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 4} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.13

Умножим $\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.14

Перенесем ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Этап 2.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.7.2

Объединим ${(x + 4)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 4)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(x + 4)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 2.7.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 2.7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 4} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.13

Умножим $\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.14

Перенесем ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 4)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x + 4} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 4})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 4)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 4) = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 4 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$4 x + 16 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x + 16 = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 16$

Этап 6.3.3.2

Разделим каждый член $4 x = - 16$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 16$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 16}{4}$

Этап 6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 16}{4}$

Этап 6.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 16}{4}$

Этап 6.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1

Разделим $- 16$ на $4$ .

$x = - 4$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 4}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 4 < 0$

Этап 6.5

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$x < - 4$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 4$

$(- \infty, - 4]$

$x \leq - 4$

$(- \infty, - 4]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{1}{4 {((- 4) + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Этап 9.3.2

Умножим $4$ на $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Этап 9.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{1}{0}$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11