Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3}}{x + 3} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{{(u - 3)}^{3}}{u} d u$

Этап 2

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

Этап 3.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 {(- 3)}^{2}}{u} d u$

Этап 3.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

Этап 3.4

Перенесем $u^{2}$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

Этап 3.5

Перенесем $u$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} - 9 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

Этап 3.8

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

Этап 3.9

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u + 9 \cdot - 3}{u} d u$

Этап 3.10

Умножим $9$ на $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27}{u} d u$

Этап 4

Разделим $u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$u$

$0$

$u^{3}$

$9 u^{2}$

$27 u$

$27$

Этап 4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $u^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$

Этап 4.3

Умножим новое частное на делитель.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			+	$u^{3}$	+	$0$

Этап 4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $u^{3} + 0$ .

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$

Этап 4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$

Этап 4.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

Этап 4.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 u^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

Этап 4.8

Умножим новое частное на делитель.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					-	$9 u^{2}$	+	$0$

Этап 4.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 u^{2} + 0$ .

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$

Этап 4.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$

Этап 4.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

Этап 4.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $27 u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

Этап 4.13

Умножим новое частное на делитель.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							+	$27 u$	+	$0$

Этап 4.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $27 u + 0$ .

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$

Этап 4.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$
									-	$27$

Этап 4.16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int u^{2} - 9 u + 27 - \frac{27}{u} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{2} d u + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

Этап 7

Поскольку $- 9$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 9$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 \int u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - \int \frac{27}{u} d u$

Этап 12

Поскольку $27$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - (27 \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 13

Умножим $27$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 (\ln (| u |) + C)$

Этап 15

Упростим.

$\frac{u^{3}}{3} - \frac{9 u^{2}}{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{9}{2} u^{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

Этап 17

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$\frac{1}{3} {(x + 3)}^{3} - \frac{9}{2} {(x + 3)}^{2} + 27 (x + 3) - 27 \ln (| x + 3 |) + C$