Математический анализ Примеры

$S = \frac{\sqrt{h w}}{60}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{h w}$ в виде ${(h w)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{60}$ является константой относительно $w$ , производная $\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}$ по $w$ равна $\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = w^{\frac{1}{2}}$ и $g (w) = h w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{{(h w)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 7.3

Перенесем ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w])$

Этап 7.4

Умножим $\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{60}$ .

$\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}} \cdot 60} \frac{d}{d w} [h w]$

Этап 7.5

Умножим $60$ на $2$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w]$

Этап 8

Поскольку $h$ является константой относительно $w$ , производная $h w$ по $w$ равна $h \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} (h \frac{d}{d w} [w])$

Этап 9

Объединим $h$ и $\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [w]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 11

Умножим $\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим правило умножения к $h w$ .

$\frac{h}{120 (h^{\frac{1}{2}} w^{\frac{1}{2}})}$

Этап 12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перенесем $h^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{h \cdot h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2.2

Умножим $h$ на $h^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Умножим $h$ на $h^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1.1

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h^{1} h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{h^{1 - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{h^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{h^{\frac{2 - 1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{h^{\frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$