Математический анализ Примеры

$y = 1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

Этап 1.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 (x + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 (x + \frac{π}{2})$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

Этап 1.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 + 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 (x + \frac{π}{2})$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

Этап 1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 (x + \frac{π}{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]))$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])))$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])))$

Этап 1.2.6

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (1 + 0)))$

Этап 1.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 \cdot 1))$

Этап 1.2.8

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) \cdot 2)$

Этап 1.2.9

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 (x + \frac{π}{2}))$ .

$0 + 3 (2 \cdot \cos (2 (x + \frac{π}{2})))$

Этап 1.2.10

Умножим $2$ на $3$ .

$0 + 6 \cos (2 (x + \frac{π}{2}))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + 6 \cos (2 x + 2 \frac{π}{2})$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{2}$ .

$0 + 6 \cos (2 x + \frac{2 π}{2})$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$0 + 6 \cos (2 x + \frac{2 π}{2})$

Этап 1.3.2.2.2

Разделим $π$ на $1$ .

$0 + 6 \cos (2 x + π)$

Этап 1.3.2.3

Добавим $0$ и $6 \cos (2 x + π)$ .

$6 \cos (2 x + π)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \cos (2 x + π)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x + π)]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (2 x + π))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + π$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + π$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin (2 x + π) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f'' (x) = - 6 (\sin (2 x + π) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 x + π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (π))$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (π))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (π))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 + \frac{d}{d x} (π))$

Этап 2.3.6

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) \cdot 2$

Этап 2.3.7.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 \sin (2 x + π)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 \cos (2 x + π) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $6 \cos (2 x + π) = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $6 \cos (2 x + π) = 0$ на $6$ .

$\frac{6 \cos (2 x + π)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cos (2 x + π)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (2 x + π)$ на $1$ .

$\cos (2 x + π) = \frac{0}{6}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$\cos (2 x + π) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x + π = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x + π = \frac{π}{2}$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{π}{2} - π$

Этап 7.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x = \frac{π - 2 π}{2}$

Этап 7.5.2

Вычтем $2 π$ из $π$ .

$2 x = \frac{- π}{2}$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x = - \frac{π}{2}$

Этап 8

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 9

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x + π = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x + π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x + π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x + π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 10.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x + π = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 10.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x + π = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{3 π}{2} - π$

Этап 10.2.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Этап 10.2.5.2

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 10.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 10.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 10.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10.3.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 10.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 11

Решение уравнения $2 x + π = \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 \sin (2 (- \frac{π}{4}) + π)$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{4} + π)$

Этап 13.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{2 (2)} + π)$

Этап 13.1.1.3

Сократим общий множитель.

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 2} + π)$

Этап 13.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 12 \sin (\frac{- π}{2} + π)$

Этап 13.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + π)$

Этап 13.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 13.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Этап 13.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 12 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2})$

Этап 13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$- 12 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2})$

Этап 13.4.2

Добавим $- π$ и $2 π$ .

$- 12 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 13.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Этап 13.6

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 12$

Этап 14

$x = - \frac{π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{π}{4}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{2}))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 15.2.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Этап 15.2.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Этап 15.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{- π + π \cdot 2}{4}))$

Этап 15.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{- π + 2 \cdot π}{4}))$

Этап 15.2.1.4.2

Добавим $- π$ и $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Этап 15.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Этап 15.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Этап 15.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 15.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot 1$

Этап 15.2.1.7

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3$

Этап 15.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 4$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 \sin (2 (\frac{π}{4}) + π)$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2 (2)} + π)$

Этап 17.1.2

Сократим общий множитель.

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2} + π)$

Этап 17.1.3

Перепишем это выражение.

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + π)$

Этап 17.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 17.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Этап 17.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 12 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Этап 17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$- 12 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Этап 17.4.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$- 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 17.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

Этап 17.7

Умножим $- 12 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 12 \cdot - 1$

Этап 17.7.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$12$

Этап 18

$x = \frac{π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{2}))$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 19.2.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Этап 19.2.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Этап 19.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

Этап 19.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

Этап 19.2.1.4.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Этап 19.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Этап 19.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Этап 19.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.1.6

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 19.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 19.2.1.8

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 19.2.1.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 - 3$

Этап 19.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ .

$(- \frac{π}{4}, 4)$ — локальный максимум

$(\frac{π}{4}, - 2)$ — локальный минимум

Этап 21